В следствие на бурното развитие на науката понякога става трудно да отсечем докъде се простират математическите модели и откъде започва реалността.
Правичката да си кажем, винаги ще има лаици, които не се интересуват достатъчно от реалния свят за да вникнат в същността на науката, но се интересуват достатъчно да има какво да кажат в компания. Това води до много дървено философстване и брутални самозаблуждения, особено когато се заслушат в поредния шарлатанин.
Само че дори специалистите не са застраховани от объркването на математическите модели с реалността. Особено опасно става философстването, породено от красивите математически модели.
В науката често има различни начини да изкажем едно твърдение, които са математически еквивалентни. Например когато говорим за механиката, оказва се че има (поне) два начина, по които можем да изразим законите за движение на телата - единия са законите на Нютон, а другия са със диференциалните уравнения на Лагранж-Ойлер.
За илюстрация ще вземем втория закон на Нютон накратко може да се запише така:1
Другия начин да се опише класическата механика е принципа на Хамилтън. Лагранж пръв открива, че може да опише механиката по друг начин - дефинира един функционал наречен "лагранжиан" (близък по идея до енергия на системата) 
Двете формулировки на класическата механика са математически еквивалентни, тоест ако имаме една система и опишем динамиката и със законите на Нютон, то предвиждането ни за бъдещото развитие на тази система ще е същото, както ако напишем функционалното уравнение за работата на Лагранж.
Само че интерпретацията на двете формулировки са кардинално различни.
Уравненията на Нютон описват динамиката на системата локално - две тела си взаимодействат само като се бутат едно друго. Дори и когато си взаимодействат от разстояние чрез гравитацията взаимодействието им се определя само от връзката между тях. Тоест частиците са очевидно инертни парчета материя без цел в живота.
От друга страна уравненията на Лагранж описват динамиката на системата глобално -
И макар тези две системи да са еквивалентни математически, е твърде очевидно, че не може и двете философски интерпретации да са верни!
Гълъбите се справят добре с намирането на решението на характеристичния полином на редицата на Фибоначи
Не, гълъбите не решават диференчни уравнения. Частиците още по-малко. Да, любопитно е, че формулировката с лагранжиан (във вид на хамилтониан на системата) е доста удобна от теоретична гледна точка, освен това лесно се обобщава за нуждите на квантовата механика, но ... това е математически модел. Дори "Бог го направи" е математически модел, да, абсолютно безполезен, но модел.
Търсенето на философски заключения от математически модели е опасно. А при падането в трапа на мистицизма излизането е трудната част...
- Или понародному: "The faster you shove *it*, the faster *it* goes." [↩]
neuromantic
октомври 1, 2010 at 11:35 am
Хубаво че се опитваш да уплашиш редовите юзъри с формули, но не разбрах защо трябва да фаворизираме точно Нютоновата философска интерпретация. По-добре ти звучи частиците да се блъскат хаотично и безцелно само защото гълъбите не решават диференциални уравнения? Картинката с гълъбите е забавна и не доказва нищо. Освен ако не твърдиш че гълъбите винаги формират редици на Фибоначи не виждам връзката им с темата. Да не би да приемаш физичните закони за описание вместо за предписание? Самият ти затъваш във философия. Трябва ли една частица да решава системи от уравнения за да се участва в глобален ред заедно с останалите частици?
Нека ти припомня кубчето на Рубик. Да си представим елементите му като частици. Мистичният въпрос кой върти кубчето не ни интересува в момента. Мисля че е видно и с просто око, че въртейки се всичките му частици търсят мястото си в света, в глобален синхрон, без да им се налага да решават каквото и да било уравнение. Не се налага да пресмятат позициите си поотделно, използвайки разум, защото има свързващо звено, което определя всичките им движения едно спрямо друго, свободата им. Интересно е, че дори хаотично въртейки се кубчето има само определен брой позволени комбинации. Например, ако се тръгне от подредено състояние, което можем да наречем вакуум и се причини смущение само в първия ред има две възможни комбинации - три ръба завъртяни в една посока и два ръба в противоположна. Картинката напомня на барионите и мезоните, т.е. комбинациите три кварка и кварк и антикварк... Та, къде точно е проблемът с красотата на математиката? 🙂
Вярно е, че математиката е само език, с който можеш да представиш една гледна точка, която не изчерпва абсолютната истина и съответно не можеш да я приемеш за философски фундамент. Но ако тази истина е непознаваема до безкрай, също като ирационалните числа, ако вселената изглежда като фрактал, то какво има да ни каже естествената наука по въпроса?
pi314
октомври 2, 2010 at 5:19 am
Проблемът с красотата на математиката е, че много лесно ни подвежда да търсим под вола теле. Метафизичното бръщолевене в много популярни филми като "what the bleep do we know" е пример за тази сбъркана философия.
За да уточним семантиката ще спомена, че ако това, което имаш предвид под "физични закони" е т.нар. "теория на всичкото", то пред характеризацията и имаме два сериозни проблема
- практическият дали някога ще ги открием
- теоретичния дали изобщо съществуват такава теория на всичкото.
Поради това наричам с термина "физични закони" математическото описание на физическия свят което знаем понастоящем и те са описание как ни изглежда какво се случва, а не предписание какво действително се случва. 😉
Не твърдя че нютоновата интерпретация е вярна или дори по-смислена!
Примерът с кубчето е интересен. Въпросът е именно "кой върти кубчето", и красивото движение определено не е аргумент за съществуването на мистичното същество "въртач на кубче". Въпросът е дали глобалният ред е фундаментално свойство на вселената или просто за един наблюдаван шаблон на поведение, счетен от нас за интересен.
Вселената може да изглежда като фрактал, но не е. Фракталите са самоподобни фигури до безкрай, а дори при доста едри мащаби на вселената (размера на атома, например) е очевидна липсата на самоподобие. Квантовото описание на атома няма нищо общо с това на слънчевата система.
Фракталите са също толкова изкуствена конструкция колкото и кръга, макар че понякога са полезни.
Формулите са страшнички и бяха неудачен избор, съжалявам :-).
BlackApostle
октомври 3, 2010 at 4:59 pm
Работата според мен е там, че колкото и добър модел да имаме, той никога не може да възпроизведе реалността 100% - никъде в природата няма идеален газ, или идеален кръг, или квадрат или какъвто и друг подобен модел.
В началото хората са си мислели че земята е плоска, което за тях е било относително правилен модел, който никой не е оспорвал, докато не са въвели сферичния модел, който пак не е отговарял напълно на истината, но пък се е доближавал повече до нея, в последствие са въвели сфероидния модел а след това - още по-сложен, и т.н.
Моделите са просто в главите ни.
neuromantic
октомври 3, 2010 at 7:06 pm
Фракталите са изкуствена конструкция, както и всичко създадено от човека (вкл. формулите описващи физичните закони), но това на пречи видимата ни природа да е съставена предимно от фракталoподобни форми - планини, реки, облаци, растения, етц. Подобни, защото не са перфектни, т.е. самоподобни до безкрай, но в определен интервал от мащаби изглежда са. Естествено никой не твърди, че вселената трябва да изглежда като множеството на Манделброт. Не виждам проблем итеративната функционална системка (буквален превод), с която се генерират фрактали, да зависи и съответно изменя от някакъв по-висок ред. Тези изменения могат да се дължат на съвсем банални физични ограничения досущ като при кубчето (живеем в материален свят) чрез просто натрупване на материята (в неговия случай още кубченца). Така след спирални галактики могат да се появят и папрати.
Знам че стара мечта на физиците е да достигнат "дъното". Да намерят основополагащия и неделим градивен елемент. Със споменатата от мен схема наистина се тръгва от такова дъно, но ако се върви до безкрай, то как ще хванем началото? Още нещо което може да се отбележи във връзка с безкрайността е познанието ни за мащабите на вселената. Човекът, например, е изтъкан от аминокиселини чрез рекурсивни процедури, стартирайки от една молекула, била тя и мега-такава. Това не значи че самоподобията трябва да се появяват в рамките на малко изменение на мащаба и всяка клетка да има по две очи. Ами ако хората се навръзват чрез интернет също като невроните в мозъка за да формират невиждана до момента форма на свръхсъзнание? Какво ще кажеш за това самоподобие?
Но да зарежем за момент фракталите. Да говорим за природата. Въпросът изобщо не е кой върти кубчето и не виждам смисъл да се дълбае в тази посока. Както вече казах дори хаотично да се върти само определени комбинации са позволени, т.е. от шум можеш да направиш ред. Въпросът кой върти кубчето за мен е равнозначен на въпроса кой разбута частиците при Големия Взрив. Приемаме че просто се е случило и толкоз. Идеята ми е, че цялата вселена е една тъкан, върху която се появяват многоизмерни вълнички и от това следва, че е неизбежно да има глобален ред. Никой не може да е независим докато е част от цялото. Дали основополагащата механика е точно като на кубчето или по-скоро напомня на тримерен ластик не можем да кажем, но и не е от първостепенна важност за дискусията тук. Изобщо, блъскащите се частици не останаха ли в прогимназията? След като Айнщайн твърди че гравитацията е кривина в пространството, на пръв поглед чисто математическа идея, но материалните обекти се движат по тази кривина, какъв друг избор имаме освен да приемем вселената за едно цяло? Нима ако гълъбите винаги формираха редици на Фибоначи можехме да говорим единствено за красота в умовете ни, вместо за задкулисен принцип?
Виждам че си приел модерната философия в която се говори за описателния характер на физичните закони. И все пак допускаш че има предписателни закони, за които просто не знаем и евентуално описваме частично с формули, т.е. детерминизмът остава в сила или смяташ че предписанието изобщо не съществува? За наблюдаемите шаблони ще е трудно да бъдат приети за фундаментални свойства единствено ако се появяват с вероятности. Доколкото знам физичните закони в малкия ни ограничен свят работят безотказно. Излиза че те са поне локално погледнато вярно описание на вселената. Наскоро чух едни физици да споменават, че при мабащи надхвърлящи значително сегашния ни хоризонт общата теория на относителността започва да издиша. Както се казва: количествените натрупвания водят до качествени изменения. Което ни връща на фракталите 🙂 В този смисъл теория на всичкото не може да съществува. Може да има единствено теория на всичко познато.
P.S. Не претендирам да съм изчерпал темата.