Докато в много области на колективните занимания критериите за строгост на изказа са препоръчителни, в математиката са необходимост. Само че доста хора бъркат строгостта на изказа със специфичната терминология - къде с цел да объркат читателя, къде с цел да объркат сами себе си.

Затова реших да започна тематична серия със статии, в които обяснявам сложно звучащи, но прости в същността си теореми, които имат интересни резултати.

Започваме с въпроса "абе няма ли някоя стратегия в казиното, която да работи", който се отговаря с теоремата на Дуб.

Нека имаме проста игра. В началото имаш лева. Хвърляме монетка, ако се падне ези ти давам 1 лев, ако се падне тура ти ми даваш 1 лев.

Ако приемем монетата за балансирана, тогава количеството пари у теб ще се изменя съобразно резултата от хвърлянето, но и от стратегията ти. Това количество представлява една случайна величина (в интуитивен смисъл), която ще означаваме , където е момента, в който я мерим (0 за началния, 1 след 1 хвърляне и т.н.).

Математиците дефинират понятието "очакване" (означено с ) на случайна величина, като сумата от размера на величината, умножен с вероятността, с която тя заема този размер. Например нека вземем момента след първото хвърляне. Ако се е паднало ези, ще имаш  пари (със вероятност 1/2), а ако се е паднало тура, ще имаш пари. Като сумираме получаваме очакването

Нещо повече, ако разгледаме играта две стъпки напред, се оказва, че очакването също е - вероятността за две езита е 1/4, за две турата е 1/4, а за ези и тура, или тура и ези, е 1/2:

Лесно се доказва за колкото стъпки напред искаме. Нещо повече, същото е вярно който и момент от играта да вземем за начален. Тоест, ако сме изиграли игри, и в резултат на  тях имаме пари, то "очакването" на ще е също .

Такива игри, в които очаквания брой пари след колкото искаме стъпки напред е равен на сегашния брой пари, се наричат мартингали, по името на една стратегия на залагане във средновековна Франция.

"Очакването" на една случайна величина е странна концепция, но и адски полезна.

Странна, защото ако забелязахте, очакването след 1 игра е да имаме пари, но това разбира се е невъзможно, тъй като ще имаме или или пари! Но "средно" ще имаме  пари. Това най добре се илюстрира с факта, че 99.9999% от хората имат повече крака от средното - наистина, ако имаме 1 от милион души с отрязан крак, то средния брой крака е 1.99999, което е по-малко от 2 - броя крака на 99.9999% от хората.

Полезна е, защото ако имаме n човека, които играят тази игра, (т.е. много пъти да почваме от  пари), то средно аритметичното на парите, които всички тези хора имат след 1 хвърляне, ще е число, което клони към  с нарастване на броя на хората. Или от 100-те човека някои ще са спечелили, някои ще са загубили, но казиното ще е загубило приблизително 0 пари на човек.

Остава да кажем какво означава момент на спиране. Момент на спиране е момент от време, в който спираме играта. За дефинирането на този момент можем да разчитаме само на информацията, която знаем до момента, тоест в момент при дадено състояние на парите ни до този момент, трябва да кажем дали спираме с играта или не. Например "спирам след 5 хода" е валиден момент на спиране. Обаче "спирам, ако знам че няма да печеля следващите 5 игри" не е, тъй като в определението използваме информация, която не ни е известна до този момент.

Времето на спиране също е случайна величина, понеже зависи от хвърлянето на монетката, така че то има очакване. То обаче може да е безкрайно (например при време на спиране - никога), само че няма особен смисъл от такива моменти на спиране.

Теоремата на Дуб твърди, че ако сме имаме мартингал и момент на спиране с крайно очакване, то очакването на мартингала в момента на спирането е равно на стойността му в началния момент.

Тоест "Казиното Никога Не Губи", или поне "Казиното Не Губи Много Пари При Много Игри и Крайно Време".

Вероятно се питате дали не може да приложите момент на спиране "спирам когато имам 1 млн долара". Тогава, тъй като ще имате 1 млн долара всеки път като спрете, то и очакваната стойност на парите ви в момента на спиране ще е 1 млн долара ... само че този момент на спиране има безкрайно очакване, така че дори да имате безкрайно голям бюджет, ще печелите само ако имате и безкрайно много време да играете.

А ако имате ограничен бюджет, то очакваното време на играта ви ще е крайно, но пък може да фалирате, и магически се оказва, че загубата ви при фалит, умножена с вероятността за него ще компенсира точно очакваната печалба по нейната вероятност.

В реално казино обаче има такси за участие, прибирани като процент от залозите (а когато не прибира процента то играта е нечестна, като рулетката и блекджека, можем да я разделим на две части - честна игра и процент от залога, прибиран от банката). Така че средно казиното не просто не губи, ами и печели в дългосрочен план.

А мартингалната стратегия представлява следното: нека играта ни дава възможност колко пари да залагаме, като печелим 1 лв за всеки заложен лев при ези и губим залога при тура. Залагаме 1 лв. Ако загубим, залагаме 2 лв. Ако загубим пак, залагаме 4 лв и т.н. Надеждата е, че рано или късно ще спечелим поне една игра, при което печелим всичко загубено досега, плюс 1 лев.

Само че играта е маргингал, и теоремата на Дуб ни разваля деня.

При това забележете, че теоремата на Дуб не зависи от стратегията, а само от играта, което ipso facto обрича всяка страгегия на провал.

Правичката да си кажем, винаги ще има лаици, които не се интересуват достатъчно от реалния свят за да вникнат в същността на науката, но се интересуват достатъчно да има какво да кажат в компания. Това води до много дървено философстване и брутални самозаблуждения, особено когато се заслушат в поредния шарлатанин.

Само че дори специалистите не са застраховани от объркването на математическите модели с реалността. Особено опасно става философстването, породено от красивите математически модели.

В науката често има различни начини да изкажем едно твърдение, които са математически еквивалентни. Например когато говорим за механиката, оказва се че има (поне) два начина, по които можем да изразим законите за движение на телата - единия са законите на Нютон, а другия са със диференциалните уравнения на Лагранж-Ойлер.

За илюстрация ще вземем втория закон на Нютон накратко може да се запише така:

Другия начин да се опише класическата механика е принципа на Хамилтън. Лагранж пръв открива, че може да опише механиката по друг начин - дефинира един функционал наречен "лагранжиан" (близък по идея до енергия на системата) , и открива, че системата винаги се движи по начин, по който Лагранжиана е стационарна точка на интеграла си, или написано математически е решение на следната система диференциални уравнения:

Двете формулировки на класическата механика са математически еквивалентни, тоест ако имаме една система и опишем динамиката и със законите на Нютон, то предвиждането ни за бъдещото развитие на тази система ще е същото, както ако напишем функционалното уравнение за работата на Лагранж.

Само че интерпретацията на двете формулировки са кардинално различни.

Уравненията на Нютон описват динамиката на системата локално - две тела си взаимодействат само като се бутат едно друго. Дори и когато си взаимодействат от разстояние чрез гравитацията взаимодействието им се определя само от връзката между тях. Тоест частиците са очевидно инертни парчета материя без цел в живота.

От друга страна уравненията на Лагранж описват динамиката на системата глобално - е свойство на цялата система - и се оказва, че телата в нея се движат в абсолютен синхрон точно по такъв начин, че работата извършаван от силите да бъде минимална. Тоест дори най-простия атом е разумна частичка, пресмятаща ужасно сложна система от диференциални уравнения за да намери мястото си в света!

И макар тези две системи да са еквивалентни математически, е твърде очевидно, че не може и двете философски интерпретации да са верни!

Гълъбите се справят добре с намирането на решението на характеристичния полином на редицата на Фибоначи

Не, гълъбите не решават диференчни уравнения. Частиците още по-малко. Да, любопитно е, че формулировката с лагранжиан (във вид на хамилтониан на системата) е доста удобна от теоретична гледна точка, освен това лесно се обобщава за нуждите на квантовата механика, но ... това е математически модел. Дори "Бог го направи" е математически модел, да, абсолютно безполезен, но модел.

Търсенето на философски заключения от математически модели е опасно. А при падането в трапа на мистицизма излизането е трудната част...

Странични ефекти: засилва симптомите на мислене и непоносимост към идиотизма

Недалечното минало. Млад студент си лафи със фамилията на тема настоящото му образование. По средата на разговора изскача логичния въпрос: "Абе ти освен като даскал какво друго можеш да работиш?". Студентът смутено замлъква и се чуди как да отговори на разобличаващия въпрос. О, трепети на младостта.

Ще се учудите колко често по време на следването ми е бил задаван този въпрос, както и на устойчивостта на отговора ми:

Всичко, което поискам.

След 6 години прекарани в СУ и понастоящем гонещ завършването на магистратурата, отговора ми остава същия. Вярно е, че не ми е дало особена подготовка за да стана зидаро-мазач, но пък и не съм поискал.

На моменти се дразня от късогледството на някои колеги от университета. Вярно е, че в реалния живот рядко ще ви се наложи да броите комбинации от топки в чували, но това далеч не е повод, още повече причина, да се твърди, че теорията на вероятностите е безполезна.

Науката не е салам, че да си я купувате на кило. Не можете да отидете в магазина и да си вземете хапче Математика и след два часа да решавате интеграли върху криви. Математиката е точно толкова събиране на числа колкото строителството е трупане на камъни и греди на едно място.

Затова наивния начин за оценяване на полезността на науката и нейното изучаване е безпредметен - понеже нито може да възприеме есенцията на знанието, нито да оцени ефекта от количественото му натрупване.  С какво право тогава може да оценява целесъобразността на инвестицията в науката?

Изобщо не се учудвам, че болшинството хора смятат математиката за безполезна на практика. Може би ако не го правеха нямаше да има толкова здравни измами. Или пристрастени към хазарта. Може би щяха да разберат какво огромно количество факти стои зад купчината статии показващи липса на каквато и да връзка между ГМО храните и болести. Може би нямаше да се налага десетки хиляди деца да се разболяват от почти изтребени болести като морбили, понеже наивните им родители отказват да ги ваксинират? Може би щяха да осъзнаят утопичната невъзможност ВЕИ да ни осигури нужната енергия?

Връзката между тези наболели проблеми и математиката вероятно ви изглежда косвена в най-добрият случай. Само че не е така. Всяка статистическа процедура се гради на същата основа, както и тегленето на червени топки от чувал.

А как можем да разберем света около нас, без да осъзнаем основата му?

Човек си плаща за това, което не знае. И не забравяйте, че живота ви има смисъл, дори и само да служи за урок на другите.

За първи път няма да работя като програмист, макар че пак ще ровя из бъгове. Може би единствното универсално нещо на този свят - ако нещо шава, то има поне един бъг в него.

Като си спомня какво писах за предната работа като започнах, и като си спомня как я завърших, май ще си спестя квалификациите. Но изглежда перспективна - квант във FinAnalytica.

Сега докато вляза и в час ...

Основнат графика във всичките му статии които съм чел е следната, чрез която той обяснява неговата "резонансна" теория, демек че вселената следва линеен закон в отношенията маса/размер от малкото към голямото. И това би трябвало да е знак за космическа хармония. Или нещо такова.

Ето я:

Колко глупости можеш да побереш в една графика

Защо тази графика е нелепа? Първо, трябва да знаете свойствата на логаритъма! Те не са толкова естествени, колкото си мислим.

Ето един комикс който обяснява много добре ефекта. Забележете че log е обратната на експоненциалната функция, т.е. представете си графиката завъртяна, т.е. движим се нагоре.

Забележете как бавната скорост от 1 м/сек, в началото предизвиква движение нагоре с 1 м/сек, с 2 м/сек и така нататък. Работата е че това "и така нататък" забързва доста бързо, и хич не е интуитивно че се движи СЪС СКОРОСТТА НА СВЕТЛИНАТА (прибл. 299 000 000 м/сек) само след 20 метра!

Тук се таи първия проблем с графиката на Харамейн. Нека приемем че моделът му е правилен, по графиката можем да оценим че в неговите сметки по вертикалата масата на вселената е  приблизително 58 единици, докато предвиждането на модела казва че е около 53. А какви са единиците? Логаритмични. 5 единици разлика не е много, нали?

ГРЕШКА! Всъщност 5 единици в логаритъма значи разлика 10 на пета степен разлика! Тоест според модела на Харамейн вселената би трябвало да е 100 000 пъти по-лека. Но досега сме видяли 4% от масата на вселената, значи това противоречи на фактите!

Другата забава е с размера на вселената. При неговите предвиждания вселената трябва да е около 10 логаритмични единици по-голяма! Това значи да има 10 милиарда пъти по-голям радиус със същата маса, тоест 10 000 000 000 по-малка плътност. Това е абсолютно невъзможно, тъй като имаме основните данни за размера на Вселената и плътността и с много по-голяма точност. Фактите просто са против хипотезата.

Дори само този факт показва колко грешен е неговия модел.

Нека минем към друг спорен момент - избирането на точките които му вършат работа. Именно, в графиката му има три големи части, които въобще можеше да бъдат обединени, понеже силите, които ги командват са едни и същи.

Брех тази линия нещо не ми се вижда много добре описваща данните

Първата група, вселената, галактиките, суперклъстърите и слънчевата система се организират само и единствено под действието на гравитацията! За тях няма абсолютно никакво отношение дали има или няма слабото, силното или електромагнитното взаимодействие! ТЕ СЕ КОМАНДВАТ ОТ ГРАВИТАЦИЯТА, и заради това тяхния размер зависи  пряко от масата им! Затова е логично да са близки до линейните, макар че квадратичен fit изглежда доста по-добре описаващ данните. Забележете че не е единствения начин да се направи този фит в графиката.

Хоризонталната линия рано или късно пресича всяка нехоризонтална...

Втората група са звездите и космическите тела с макроразмер - астероиди, планети, звезди. При тях силите на гравитация също са водещи, като заради триенето между частиците имаме три варианта - звездите, които са активни и са по-леки отколкото показва простото отношение на Харамейн (при това колкото са по-големи, толкова са с по-малка плътност, отдавна установен факт), планети, които се удържат от сплескване поради електромагнитните сили, и черни дупки, които не са удържали това сплескване. Това значи, че за приблизително еднакъв радиус има ОГРОМНА разлика в масите, което дава възможност да се подберат примери които да съвпаднат добре с начертаната графика.

Третат група са микрочастиците. Тук става още по-забавно. Най-вляво виждате планкова черна дупка, която разбира се се определя от гравитацията. Подозрително точно е уцелена от графиката, може би има причина? Космическата хармония ... за хората незапознати със свойствата на квадратичния fit на моделите!

Когато основната част от данните са скупчени в една групичка (група 1) един outlier може сериозно да премести графиката. Проста илюстрация:

При хубаво що-годе кръгло клъсрче от данни всяка линия минаваща през центъра на клъстера е добре напасната

Малкото червено кръгче премахва алтернативните линии като възможности, защото за другите линиик синьото разстояние се добавя към грешката, а модела се строи да е с минимална грешка!

Реално тази черна дупка може да е изключение (което тя е!), но добавяйки я в модела тя го изкривява много!

Накратко, Харамейн си избира едно клъстърче от данни (група едно), един аутлайър (микроскопичната черна дупка) и след това избира кои звездни обекти да използва за да получи правилната графика! Въпреки това тя пак дава безумно неточни предвиждания за размера и масата на обектите във вселената. На всичкото отгоре отделните и части се обясняват лесно в съответствие със познатите ни физични закони.

И в случай че си мислите че съм захванал единствената му грешква в книгите ... Ако имам време скоро ще опиша основните му фактологични грешки в The Origin of Spin и The Schwarzschild Proton, но само ще кажа че ако учените имаха такова фундаментално неразбиране на реалния свят като Харамейн, още щяхме да правим изследвания в кой край да държим буздугана ...

Интересна е мисълта на James Randi от клипчето му в Ютюб, която той споделя относно парапсихолозите, но според мен доста точно описва болшинството автори на псевдонаучни твърдения.

Most of these parascientists are grandly sewed and confident when surrounded with enough misapplied technology, and when it reflects regular, recognized lab procedures well enough, it brings them great comfort. They freely use electronic systems that would provide useful data in the hands of real researchers, and displays of these bells and whistles lend an atmosphere of authenticity that can encourage acceptance (and funding!) from those who don't venture, or even care to, grab the cheesecloth.

Тук е редно да зададете въпроса: "Хубаво де, ама вярваш ли че съвременната физика е точна и няма място за напредък?". Отговорът ми е от две части:

1. Вярата няма нищо общо когато се разискват факти. Съгласен съм да отхвърля текущите познания в момента в който се появят добри данни за това.
2. Убеден съм, че в бъдеще ще видим кардинални промени във физиката и нашето разбиране за света.
3. Два пъти по-убеден съм че тези промени ще дойдат от сериозни хора, изучили грешките на предците си и измислили подобрена теория, която да съвпада с фактите, а не от псевдоучените без грам знания, без никакво разбиране на научния метод!

Например, ето една интересна статия от преди няколко месеца Erik Verlinde, математик който показва интересен паралел между гравитацията и ентропията. Идеята изглежда солидна, засега няма много технически детайли, но времето ще покаже. Аз вярвам, че дори да не успее да доведе до преразглеждане на съвременната физика в термините на теорията на информацията, поне ще даде важни прозрения за връзката между двете. Най-важното обаче, е че като истински учен Verlinde търси проблеми в хипотезата си и я разпространява сред научните среди, където именно се спотайват умовете които могат да я опровергаят.

Сравнявайки я с умствената чикия на Харамейн, мога само да чувствам тъга, че  незапознатия с елементарната физиката и основни умения на скептик човек трудно може да направи разликата между двете...

Изумява ме когато ми го зададе някой колега програмист. Какво по дяволите би трябвало да означава въпросът "ставам висшист, трябва ли ми да знам фундамента, на който се гради науката/технологията/методологията, които изучавам?". Това е все едно химик да попита "защо трябва да изучавам строежа на атома, нали имам магическата Менделеева таблица?" или лекар да попита "защо ми е да знам химия, нали лекарствата си имат означение кога да се ползват и кога - не?". Всеки човек осъзнава потресаващото безумие на тези въпроси!

По някаква причина, която все още ми убягва напълно обаче, математиката действително натиска червения бутон в церебралния котекс на доста хора, и то до състояние те наистина задават този въпрос. "Ама много теоретично ми се струва, какво приложение може да има математиката в програмирането?!?!".

Този въпрос е глупав на толкова много нива ... как боже милостиви се очаква да знаеш как можеш да приложиш математиката в програмирането, ако не разбираш математиката?

Може би има известна доза истина в една от лекциите на Дийкстра*

Науката е мразена, защото овладяването и изисква твърде много тежка работа, и по същата причина практикуващите я, учените, са мразени заради моща която извличат от нея.

И малко по-долу, (когато коментира друга своя лекция на тема как да правим софтуер без дефекти)

Мениджърите бяха ужасени от намека че трябва да бъде доставян софтуер без дефекти, понеже компанията извличала стабилността си от последващите договори за поддръжка. Програмистите също бяха ужасени; те извличаха интелектуалната си възбуда от не съвсем разбирането на това какво правят,и  професионалното си удволетворение от откриването на чудатите бъгове, които първоначално те самите са вкарали поради дръзката си безотговорност.

Ама пределно ясно е, че не е нужно да разбираш математика, ако искаш да редиш XML. Това при положение че не използваш регулярни езици за  да правиш валидация, разбира се. И ако не се интересуваш да оптимизираш алгоритъма ти да завърши изпълнението си преди следващата ледникова епоха (поне 16 000 години). И ако държиш на това многонишковия ти интерфейс да виси като мокри гащи. И ако не искаш никога да работиш в някоя от многото междудисциплинарни позиции (биоинформатика, финансова математика, обработка на големи масиви информация, и т.н. и т.н.).

Накратко, ако искаш да си останеш човек с ограничено мислене, ограничено разбиране за света и още по-ограничени перспективи, не просто не е нужно, а горещо ти препоръчвам ДА НЕ УЧИШ МАТЕМАТИКА!**

Освен безчет практически ползи в програмирането, от изучаването на математиката абсолютно всеки човек може да извлече една  безценна полза - математиката тренира мозъка! По същия начин по който ходиш на фитнес за да може крепките ти мишци да заякнат, така и упражняването на математиката развива и укрепва логическото мислене.

Ако и това не те е убедило, ето една вметка от Карл Сейгън в книгата си The Demon-Haunted World - Science as a Candle in the Dark

Организирали сме глобална цивилизация, в която най-критичните елементи - транспорт, комуникации и всички други индустрии; земеделието, медицината, образованието, забавленията, защитата на околната среда; и дори ключовата демократична инситуция - изборите; дълбоко зависият на науката и технологията. Освен това сме организирали нещата така че почти никой не разбира науката и технологията. Това е  предписание за катастрофа. Може да го избегнем за извесстно време, но рано или късно тази взривоопасна комбинация от невежество и власт ще ни гръмне в лицето.

Спри идиотизирането на света! Образовай се! Интересувай се! Гледай научни предавания! Разбери колко вода открихме на Луната преди месец! Гледай филм за бъдещето на ядрената енергетика! Започни висше образование, запиши магистратура, подтикни приятелите си!

Или както казват хипитата когато искат да оправдаят купуването на хибридна кола, "be a part of the solution, not part of the problem."**

*въпросните програмисти задължително да прочетат лекцията, защото вътре Дийкстра е напипал доста от болезнените проблеми на съвременния програмист ... и това преди 20 години!

** ученето на математика не гарантира обратното, но липсата на математическо образование определено помага...

*** или както викат химиците, "If you're not part of the solution, you're a part of the precipitate!"

"Like other occult techniques of divination, the statistical method has a private jargon deliberately contrived to obscure its methods from non-practitioners."

-- G. O. Ashley

Suppose we loosely define a religion as any discipline whose foundations rest on an element of faith, irrespective of any element of reason which may be present. Quantum mechanics for example would be a religion under this definition. But mathematics would hold the unique position of being the only branch of theology possessing a rigorous demonstration of the fact that it should be so classified.

-- In H. Eves, In Mathematical Circles, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1969.

"Once when lecturing in class he [Lord Kelvin] used the word 'mathematician' and then interrupting himself asked his class: 'Do you know what a mathematician is?' Stepping to his blackboard he wrote upon it: integral from - infinty to + infinity of exp(-x^2)dx = sqrt(pi). Then putting his finger on what he had written, he turned to his class and said, 'a mathematician is one to whom *that* is as obvious as that twice two makes four is to you.'"

--S. P. Thompson, Life of Lord Kelvin

—Peter Winch, 1968

The Axiom of Choice is obviously true; the Well Ordering Principle is obviously false; and who can tell about Zorn's Lemma?

Two math professors are in a restaurant. One argues that the average person does not know any math beyond high school. The other argues that the average person knows some more advanced math.

Just then, the first one gets up to use the rest room. The second professor calls over his waitress and says:

"When you bring our food, I'm going to ask you a mathematical question. I want you to answer, 'One third x cubed.' Can you do that?"
The waitress says, "I don't know if I can remember that. One thurr... um..."
"One third x cubed," says the prof.
"One thir dex cue?," asks the waitress.
"One"
"One"
"Third"
"Third"
"X"
"X"
"Cubed"
"Cubed"
"One third X cubed"
"One third X cubed"
The waitress leaves, and the other professor comes back. They resume their conversation until a few minutes later when the waitress brings their food. The professor says to the waitress,

"Say, do you mind if I ask you something?"
"Not at all"
"Can you tell me what the integral of x squared dx is?"
The waitress pauses, then says, "One third x cubed."
As she walks away, she stops, turns, and adds, "Plus a constant!"

“[P]hilosophy can no more show a man what he should attach importance to than geometry can show a man where he should stand.”

—Peter Winch, 1968